Question

已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
（1）求x∈[-2，0]时，f（x）的表达式；
（2）证明f（x）是R上的奇函数．

Answer

（1）利用f（x+2）=-f（x），可由x∈[0，2]时的解析式求x∈[-2，0]时的解析式；
（2）首先证明x∈[-2，2]时f（x）是奇函数，然后证明f（x）是以4为周期的周期函数，则问题解决．
【解析】
（1）因为x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2，
所以x∈[-2，0]时，x+2∈[0，2]，
则f（x+2）=2（x+2）-（x+2）2
=-x2-2x，x∈[-2，0]
又f（x+2）=-f（x），
所以f（x）=x2+2x，x∈[-2，0]．
（2）证明：由（1）知f（x）=x2+2x，x∈[-2，0]，
则f（-x）=x2-2x，x∈[-2，0]，
且f（x）=2x-x2，x∈[0，2]，
所以f（-x）=-f（x），x∈[-2，2]，
即f（x）在[-2，2]上是奇函数．
又f（x+2）=-f（x），x∈R，则f（x）=-f（x-2），x∈R，
所以f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），
亦即f（x）是以4为周期的函数，
故f（x）是R上的奇函数．