Question

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n•a_n-1=a_n-1-a_n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为T_n，证明T_n＜．

Answer

（I）先由n=1，求出b1，再由n≥2，求出bn-bn-1，由此可求出数列{bn}的通项公式．
（II）由题设知，==
再由知．
【解析】
（I）当n=1时，b1=，
当n≥2时，bn-bn-1=，
∴数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴通项公式为bn=n+2；（5分）
（II）∵，
∴
=
=
=
∵
∴
∴
∴．（13分）