Question

已知函数f（x）=ax³+cx（a＞0）在x₁，x₂处分别取得极值f（x₁）和f（x₂），且|x₁-x₂|=2，f（x₁）-f（x₂）=x₂-x₁．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据x1、x2是方程f′（x）=0的两根，且f（x1）-f（x2）=x2-x1求出a、c的值，确定函数f（x）的解析式．
（2）对函数f（x）进行求导后令导函数等于0求出两根，然后根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定极值．
【解析】
（I）∵f（x）=ax3+cx，
∴f′（x）=3ax2+c，
f（x1）-f（x2）=a（x13-x23）+c（x1-x2）=（x1-x2）
{a[（x1+x2）2-x1•x2]+c}=
∴
又（x1-x2）2=4，∴（x1+x2）2-4x1•x2=4
∴，∴．
（II）令f'（x）=0，即，解得x=-1，1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

由上表可知：
在区间（-∞，-1），（1，+∞）上，f（x）是增函数；
在区间（-1，1）上，f（x）是减函数，
因此，当x=-1时，f（x）有极大值为1；
当x=1时，f（x）有极小值为-1．