已知函数f（x）=-x3-2ax2-a2x+1-a（其中a＞-2）的图象在x=2...

已知函数f（x）=-x³-2ax²-a²x+1-a（其中a＞-2）的图象在x=2处的切线与直线5x+y-12=0平行．
（1）求实数a的值及该切线方程；
（2）若对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，求实数M的最小值．

（1）求出f（x）的导函数，因为切线与直线5x+y-12=0平行得到两条直线斜率相等，得到切线的斜率为-5即f'（2）=-5，解出a即可，且得到f（2）=0，然后写出切线方程即可；（2）求出f'（x）=0时x的值，利用x的值找出范围讨论函数的增减性求出函数的最值，利用最大值减最小值得到M的最小值．【解析】（1）由f（x）=-x3-2ax2-a2x+1-a得f'（x）=-3x2-4ax-a2 由题意f'（x）=-5，∴-3×4-8a-a2=-5即a2+8a+7=0 解得a=-1或a=-7，∵a＞-2，∴a=-1 ∴f（x）=-3x3+2x2-x+2，∴f（2）=0 切线方程为：y=-5（x-2）即5x+y-10=0 （2）由（1）知f'（x）=-3x2+4x-1，令当x变化时f'（x），f（x）随x变化的情况如下表由表可知f（x）在区间[0，1]上的最小值，最大值为f（0）=f（1）=2 ∵对任意的x1，x2∈[0，1]，f（x）= ∵|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立， ∴

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等