Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b的关系式；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，且其图象与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c．函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，f'（x）=3x2-2ax+b，即该方程有根．△=4a2-12b≥0，则易得a，b的关系式；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，由已知可得x=-1和x=3是方程f'（x）=3x2-2ax+b=0的两根，可以求得a，b，再根据图象与x轴有且只有3个交点，等价于极大值大于0且极小值小于0，则易求c的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3x2-2ax+b，设切点为P（x，y），
则曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率k=f'（x）=3x2-2ax+b，
由题意，知f'（x）=3x2-2ax+b=0有解，
∴△=4a2-12b≥0即a2≥3b．
（Ⅱ）由已知可得x=-1和x=3是方程f'（x）=3x2-2ax+b=0的两根，
∴，，
∴a=3，b=-9．（7分）
∴f'（x）=3（x+1）（x-3），
∴f（x）在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值．
∵函数y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，∴
又f（x）=x3-3x2-9x+c，∴，
解得-5＜c＜27．