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已知椭圆E的方程为manfen5.com 满分网,长轴是短轴的2倍,且椭圆E过点manfen5.com 满分网;斜率为k(k>0)的直线l过点A(0,2),manfen5.com 满分网为直线l的一个法向量,坐标平面上的点B满足条件manfen5.com 满分网
(1)写出椭圆E方程,并求点B到直线l的距离;
(2)若椭圆E上恰好存在3个这样的点B,求k的值.
(1)首先由长轴是短轴的2倍得a、b的一个方程,然后根据椭圆E过点(,)得a、b的另一个方程,则解方程组求得a、b,进而求得椭圆E的方程;由直线l过点A(0,2),且斜率为k(k>0),设其斜截式为y=kx+2,然后取该直线的一个法向量(k,-1),再设点B的坐标为B(x,y),则根据||=||得k、x、y间关系式,而点B(x,y)到直线y=kx+2的距离恰好由前面k、x、y间的关系式变形可得,则问题解决. (2)由(1)知,椭圆E上恰好存在3个这样的点B,表示与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点,则其中一条必与椭圆E相切,把它作为问题的切入点,则由该直线方程y=kx+t与椭≥圆方程联立方程组,根据△=0可求得k、t的一个关系式,再由两平行线间距离公式得k、t的另一个关系式,则解方程组求得k、t,最后注意检验把不符号要求的答案舍去. 【解析】 (1)由题意得解得a2=4,b2=1, ∴椭圆E方程为:. 直线l的方程为y=kx+2,其一个法向量,设点B的坐标为B(x,y),由及得, ∴B(x,y)到直线y=kx+2的距离为. (2)由(1)知,点B是椭圆E上到直线l的距离为1的点,即与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点. 设与直线l平行的直线方程为y=kx+t 由得x2+4(kx+t)2=4,即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0△=64k2t2-4(1+4k2)(4t2-4)=16(1+4k2-t2)① 当△=0时,② 又由两平行线间的距离为1,可得③ 把②代入③得,即3t2-16t+13=0,(3t-13)(t-1)=0 解得t=1,或 当t=1时,代入②得k=0,与已知k>0不符,不合题意; 当时,代入②得,代回③得或 当,时,由①知△>0 此时两平行线和,与椭圆E有三个交点, ∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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