Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，且（n∈N^*），数列{b_n}的通项公式为b_n=4n+3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{a_n}与{b_n}的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列{d_n}，证明数列{d_n}的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）由题设知，a1=3.，所以（n≥2）．由此能求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）a1、a2不是数列{bn}中的项．a3=27=4×6+3，d1=27是数列{bn}中的第6项，设ak=3k是数列{bn}中的第m项，则3k=4m+3
（k、m∈N*）．再证明ak+1不是数列{bn}中的项．ak+2是数列{bn}中的项．所以d1=a3，d2=a5，d3=a7，…，dn=a2n+1，由此求出数列{dn}的通项公式．
（Ⅰ）【解析】
∵（n∈N*），
∴，
∴a1=3．
当n≥2时，，
∴an=3an-1，即（n≥2）．
∴数列{an}是以3首项，公比为3的等比数列，
∴an=3•3n-1=3n（n∈N*）．（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a1、a2显然不是数列{bn}中的项．
∵a3=27=4×6+3，
∴d1=27是数列{bn}中的第6项，
设ak=3k是数列{bn}中的第m项，则3k=4m+3（k、m∈N*）．
∵ak+1=3k+1=3×3k=3（4m+3）=4（3m+2）+1，
∴ak+1不是数列{bn}中的项．
∵ak+2=3k+2=9×3k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，
∴ak+2是数列{bn}中的项．
∴d1=a3，d2=a5，d3=a7，…，dn=a2n+1，
∴数列{dn}的通项公式是dn=32n+1（n∈N*）．（14分）