Question

如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）证明：A₁B∥平面ADC₁；
（3）图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）

Answer

（1）直接求出正三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC的面积，求出高AA1，即可求出体积；
（2）连接A1C，证明A1B平行平面ADC1内的直线DE，即可证明A1B∥平面ADC1．
（3）通过直线与平面垂直，说明平面与平面垂直，直接列举出图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面即可．
证明：（1）依题意，在正三棱柱中，，
AA1=3，从而AB=2，AA1⊥平面ABC，
所以正三棱柱的体积=．
（2）连接A1C，设A1C∩AC1=E，
连接DE，因为AA1C1C是正三棱柱的侧面，
所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，
所以DE是△A1BC的中位线，DE∥A1B，
因为DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．
（3）AD垂直平面BCC1B1，AD⊂平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD⊂平面AC1D
所以垂直于平面BCC1B1的平面有：平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D．