Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，∀n∈N^*，S_n+1=2S_n+1．
（1）求{S_n}的通项公式．
（2）证明：对∀n∈N^*，．

Answer

（1）由题意可知Sn+1+1=2Sn+1+1=2（Sn+1），得到{Sn+1}是首项为2、公比为2的等比数列，求出Sn+1的通项公式即可得到Sn=2n-1；
（2）利用做差法得到an+1=Sn+1-Sn=2n，a1=1=21-1，所以∀n∈N*，an=2n-1，分别表示出各项，利用错位相减法得到小于4即可．
（1）依题意，∀n∈N*，Sn+1+1=2Sn+1+1=2（Sn+1），S1+1=a1+1=2≠0
所以{Sn+1}是首项为2、公比为2的等比数列，所以Sn+1=2n，Sn=2n-1
（2）对∀n∈N*，an+1=Sn+1-Sn=2n，a1=1=21-1，所以∀n∈N*，an=2n-1
，
所以，两式相减，
整理得=＜4