Question

设函数f（x）=x³+mx²+nx+p在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根．
（1）求n的值；
（2）求证：f（1）≥2．

Answer

（1）由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢？是x=2吗？不一定．会在x=2的哪一侧呢？根据f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数可知x=0时函数取到极大值即在导函数中自变量取零时函数值也取零得到n的值即可；
（2）要证f（1）≥2，首先将f（1）化成关于m的式子，求出导函数的驻点根据增减性确定m的范围，便可证之．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）取到极大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（2）∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=-
∵函数f（x）在[0，2]上是减函数，
∴x2=-≥2
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．