Question

已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x，0）．证明．

Answer

设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x的范围．
证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x，0），故|PA|=|PB|，即
（x1-x）2+y12=（x2-x）2+y22①
∵A、B在椭圆上，
∴，．
将上式代入①，得
2（x2-x1）x=②
∵x1≠x2，可得．③
∵-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，且x1≠x2，
∴-2a＜x1+x2＜2a，
∴．