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如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是...

如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,PD垂直底面ABCD,manfen5.com 满分网,E,F分别是PB,CD上的点,且manfen5.com 满分网,过点E作BC的平行线交PC于G.
(1)求BD与平面ABP所成角θ的正弦值;
(2)证明:△EFG是直角三角形;manfen5.com 满分网
(3)当manfen5.com 满分网时,求△EFG的面积.

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(1)先证明△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形,点D到面PAB的距离为H,由VP-ABD=VD-PAB,求出H的值,R表示,计算 sinθ=的值. (2)由EG∥BC,结合成比例线段,先证GF∥PD,由GF⊥BC,得 GF⊥EG,从而得到△EFG是直角三角形. (3)根据成比例线段,求出EG和FG的值,利用△EFG的面积等于EG•FG计算出面积. 【解析】 (1)在Rt△BAD中,∵∠ABD=60°,∴ 而PD垂直底面ABCD, , , 在△PAB中,PA2+AB2=PB2,即△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形. 设点D到面PAB的距离为H,由VP-ABD=VD-PAB,有PA•AB•H=AB•AD•PD, 即,. (2)EG∥BC,∴,而,即 , ∴GF∥PD,∴GF⊥BC,∴GF⊥EG,∴△EFG是直角三角形. (3)时,, 即, ∴△EFG的面积.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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