Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，PD垂直底面ABCD，，E，F分别是PB，CD上的点，且，过点E作BC的平行线交PC于G．
（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；
（2）证明：△EFG是直角三角形；
（3）当时，求△EFG的面积．

Answer

（1）先证明△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形，点D到面PAB的距离为H，由VP-ABD=VD-PAB，求出H的值，R表示，计算
sinθ=的值．
（2）由EG∥BC，结合成比例线段，先证GF∥PD，由GF⊥BC，得 GF⊥EG，从而得到△EFG是直角三角形．
（3）根据成比例线段，求出EG和FG的值，利用△EFG的面积等于EG•FG计算出面积．
【解析】
（1）在Rt△BAD中，∵∠ABD=60°，∴
而PD垂直底面ABCD，
，
，
在△PAB中，PA2+AB2=PB2，即△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形．
设点D到面PAB的距离为H，由VP-ABD=VD-PAB，有PA•AB•H=AB•AD•PD，
即，．
（2）EG∥BC，∴，而，即 ，
∴GF∥PD，∴GF⊥BC，∴GF⊥EG，∴△EFG是直角三角形．
（3）时，，
即，
∴△EFG的面积．