Question

设p，q为实数，α，β是方程x²-px+q=0的两个实根，数列{x_n}满足x₁=p，x₂=p²-q，x_n=px_n-1-qx_n-2（n=3，4，…）．
（1）证明：α+β=p，αβ=q；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）若p=1，，求{x_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）设α＜β，由根与系数的关系可证得答案，
（2）设xn-sxn-1=t（xn-1-sxn-2），由题意知，由此解得s1=α，s2=β，由此入手可以推导出{xn}的前n项和Sn．
（3）把p=1，代入x2-px+q=0，得，解得，由此可知．
【解析】
（1）由求根公式，不妨设α＜β，得
∴，
．

（2）设xn-sxn-1=t（xn-1-sxn-2），则xn=（s+t）xn-1-stxn-2，由xn=pxn-1-qxn-2
得，
消去t，得s2-ps+q=0，
∴s是方程x2-px+q=0的根，由题意可知，s1=α，s2=β
①当α≠β时，此时方程组的解为或
∴xn-αxn-1=β（xn-1-αxn-2），xn-βxn-1=α（xn-1-βxn-2），
即{xn-t1xn-1}、{xn-t2xn-1}分别是公比为s1=α、s2=β的等比数列，
由等比数列性质可得xn-αxn-1=（x2-αx1）βn-2，xn-βxn-1=（x2-βx1）αn-2，
两式相减，得（β-α）xn-1=（x2-αx1）βn-2-（x2-βx1）αn-2
∵x2=p2-q，x1=p，
∴x2=α2+β2+αβ，x1=α+β
∴（x2-αx1）βn-2=β2•βn-2=βn，（x2-βx1）αn-2=α2•αn-2=αn
∴（β-α）xn-1=βn-αn，
即∴，∴

②当α=β时，即方程x2-px+q=0有重根，∴p2-4q=0，
即（s+t）2-4st=0，得（s-t）2=0，
∴s=t，不妨设s=t=α，由①可知xn-αxn-1=（x2-αx1）βn-2，
∵α=β，∴xn-αxn-1=（x2-αx1）αn-2=αn
即∴xn=αxn-1+αn，等式两边同时除以αn，
得，
即
∴数列是以1为公差的等差数列，
∴，
∴xn=nαn+αn
综上所述，．
，
==．

（3）把p=1，代入x2-px+q=0，得，解得，∴．