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已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R). (1)当a=-1时,求函数f(x)...

已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R).
(1)当a=-1时,求函数f(x)在点x=1处的切线方程及f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值.
(1)欲求在点x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f(x)<0求得的区间是单调减区间,从而问题解决. (2)类似与(1)中的方法,先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,求出极值即可. 【解析】 (1)当a=-1时,,(1分) ∴f'(1)=3. 函数f(x)在点x=1处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2(3分) 当x>0时,,∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, 而f(x)的定义域为(0,+∞),则函数f(x)的单调增区间为(0,+∞),不存在递减区间.(5分) (2)函数f(x)=x2-alnx(a∈R)的定义域为(0,+∞),,(6分) ①当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数;函数f(x)无极值(8分) ②当a>0时,由f'(x)>0,得,(9分) 由f'(x)<0,得,(10分) ∴当时,f(x)有极小值(11分) 综上,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)有极小值,无极大值(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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