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已知曲线C上任一点P到直线x=1与点F(-1,0)的距离相等. (1)求曲线C的...

已知曲线C上任一点P到直线x=1与点F(-1,0)的距离相等.
(1)求曲线C的方程;
(2)设直线y=x+b与曲线C交于点A,B,问在直线l:y=2上是否存在与b无关的定点M,使得直线MB与MA关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)根据抛物线的定义可知点F(-1,0)为抛物线的焦点,x=1为其准线,设出抛物线的方程,根据焦点坐标求得p,则抛物线方程可得. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),假设存在点M(a,2)满足条件,根据题意可推断出kAM+kBM=0,把A,B坐标代入,同时根据抛物线方程可知x1和y1,x2和y2的关系,把直线与抛物线方程联立消去x,利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2,代入方程③中,求得a的值,推断出出存在点M(-1,2)满足题意. 【解析】 (1)依题意,曲线C为抛物线,且点F(-1,0)为抛物线的焦点,x=1为其准线, 则抛物线形式为y2=-2px,由,得p=2, 则曲线C的方程为y2=-4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),假设存在点M(a,2)满足条件,则kAM+kBM=0 即,即x2y1+x1y2-2(x1+x2)-a(y1+y2)=0① 而,,② 整理得y1y2(y1+y2)+4a(y1+y2)-2(y12+y22)-16a=0, 即为:y1y2(y1+y2)+4a(y1+y2)-2[(y1+y2)2-2y1y2]-16a=0,③ 由得:y2+4y-4b=0, 则y1+y2=-4,y1y2=-4b,④ 将④代入③得:-4b×(-4)+4a×(-4)-2[(-4)2+8b]-16a=0,即a=-1. 因此,存在点M(-1,2)满足题意.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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