Question

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为45°的直线被双曲线截得的弦MN的长为6．
（Ⅰ）求此双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与该双曲线交于两个不同点A、B，且以线段AB为直径的圆过原点，求定点Q（0，-1）到直线l的距离d的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer

（1）设出双曲线的标准方程根据离心率求得a和c的关系，把直线MN的方程代入双曲线方程整理得2x2+4ax-7a2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用弦长公式表示出||MN|求得a，进而根据离心率求得c，进而求得b，则双曲线方程可得．
（2）直线l与双曲线法才联立消去y，设A（x3，y3），B（x4，y4），利用韦达定理表示出x3+x4和x3x4，依据以线段AB为直径的圆过原点，所以x3x4+y3y4=0．代入求得由点到直线的距离表示出d，根据k的范围确定m的范围，进而求得d的最大值，此时的直线l的方程可得．
【解析】
（Ⅰ）设双曲线的方程是（a＞0，b＞0），
则由于离心率，所以c=2a，b2=3a2．
从而双曲线的方程为，且其右焦点为F（2a，0）．
把直线MN的方程y=x-2a代入双曲线的方程，消去y并整理，得2x2+4ax-7a2=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-2a，．
由弦长公式，得==6．
所以a=1，b2=3a2=3．
从而双曲线的方程是．
（Ⅱ）由y=kx+m和，消去y，得（3-k2）x2-2kmx-m2-3=0．
根据条件，得△=4k2m2-4（3-k2）（-m2-3）＞0且3-k2≠0．
∴m2+3＞k2≠3．
设A（x3，y3），B（x4，y4），则，．
由于以线段AB为直径的圆过原点，所以x3x4+y3y4=0．
即（1+k2）x3x4+km（x3+x4）+m2=0．
从而有，即．
∴点Q到直线l：y=kx+m的距离为：．
由≥0，解得且．
由≠3，解得．
所以当时，d取最大值，此时k=0．
因此d的最大值为，此时直线l的方程是．