Question

f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，总有f（x+2）=-f（x）成立，则f（19）=（ ）
A．0
B．1
C．18
D．19

Answer

本题是函数的性质---偶函数与周期性以及恒等关系灵活运用题，首先对f（x+2）=-f（x）进行变形，得到f（x+4）=-f（x+2）=f（x），证出周期为4，得出f（19）=f（-1），再由函数是偶函数及恒等式f（x+2）=-f（x）分别得出f（-1）=f（1）与f（1）=-f（-1），由两者联立得到f（-1）=-f（-1），算出f（-1）=0，即f（19）=0
【解析】
f（x+2）=-f（x）⇒f（x+4）=-f（x+2）=f（x）⇒周期T=4⇒f（19）=f（-1），
又f（x）是定义在R上的偶函数，得f（-1）=f（1）①，
且当x=-1时，f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（-1）②，
由①②联立得f（-1）=0
所以f（19）=f（-1）=0
故选A．