Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．
（1）当a＞-3时，求函数f（x）的单调减区间（用a表示）．
（2）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．

Answer

（1）已知易得点M（1，m）在切线上，得到m=2，且切线斜率为0，列出相应的等式，利用导数研究函数的单调区间的步骤求解．
（2）根据已知可以得出a，b，c的值，也就得到f（x），若证明f（x）的图象关于点M对称，只需证明f（x）的图象上的任意一点P（x，y），关于点M的对称点Q（2-x，4-y）也在图象上即可．
【解析】
（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b，
由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f'（1）=3+2a+b=0，
即b=-2a-3，c=a+4．

当a＞-3时，，有

∴当a＞-3时，函数f（x）的单调减区间为
（2）由（1）知：若x=1不是函数f（x）的极值点，则=1，
解出a=-3，b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2．
设点P（x，y）是函数f（x）的图象上任意一点，则y=f（x）=（x-1）3+2，点P（x，y）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x，4-y），
∵f（2-x）=（2-x-1）3+2=-（x-1）3+2=2-y+2=4-y，
∴点Q（2-x，4-y）在函数f（x）的图象上．由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．