Question

如图，抛物线C₁：y²=8x与双曲线有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）以F₁为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）²+y²=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁，l₂，它们分别与圆M，N相交，且直线l₁被圆M截得的弦长与直线l₂被圆N截得的弦长的比为，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer

（Ⅰ）由题意知双曲线C2的焦点为F1（-2，0）、F2（2，0），设A（x，y）在抛物线C1：y2=8x上，且|AF2|=5，由抛物线的定义得，x+2=5，x=3，，，由此可知双曲线的方程．
（Ⅱ）设圆M的方程为：（x+2）2+y2=r2，双曲线的渐近线方程为：，故圆M：（x+2）2+y2=3．由此入手可推导出所有满足条件的点P的坐标．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线C1：y2=8x的焦点为F2（2，0），
∴双曲线C2的焦点为F1（-2，0）、F2（2，0），（1分）
设A（x，y）在抛物线C1：y2=8x上，且|AF2|=5，
由抛物线的定义得，x+2=5，∴x=3，（2分）
∴y2=8×3，∴，（3分）
∴，（4分）
又∵点A在双曲线上，
由双曲线定义得，2a=|7-5|=2，∴a=1，（5分）
∴双曲线的方程为：．（6分）
（Ⅱ）设圆M的方程为：（x+2）2+y2=r2，
双曲线的渐近线方程为：，
∵圆M与渐近线相切，∴
圆M的半径为，（7分）
故圆M：（x+2）2+y2=3，（8分）
设点P（x，y），则l1的方程为y-y=k（x-x），
即kx-y-kx+y=0，l2的方程为，
即x+ky-x-ky=0，
∴点M到直线l1的距离为，
点N到直线l2的距离为，
∴直线l1被圆M截得的弦长，
直线l2被圆N截得的弦长，（11分）
由题意可得，，
即3（x+ky-2）2=（2k+kx-y）2，
∴①
或②（12分）
由①得：，
∵该方程有无穷多组解，
∴，解得，
点P的坐标为．（13分）
由②得：，
∵该方程有无穷多组解，
∴，解得，
点P的坐标为．
∴满足条件的点P的坐标为或．（14分）