Question

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为，
经过对角线AB₁的平面交棱A₁C₁于点D．
（Ⅰ）试确定D点的位置使平面AB₁D∥BC₁，并证明你的结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A₁-AB₁-D的大小．

Answer

（Ⅰ）由图形判断知，D为A1C1中点时平面AB1D∥BC1，证明用线面平行的判定定理即可．
（II）在图形中作出二面角的平面角，要充分利用已有的结论，作DM⊥A1B1于M，连接ME，证出角MED即平面角．
【解析】
（Ⅰ）D为棱A1C1中点时平面AB1D∥BC1，证明如下：
连接AB1，与线AB1交于点E，
∵正三棱柱ABC-A1B1C1
∴E是中点，又D中点，
故DE是三角形A1BC1的中位线，故DE∥BC1，
又BC1不在平面AB1D内，DE在面AB1D内，
由线面平行的判定定理知平面AB1D∥BC1
（II）若D是中点，由题设条件AD=，B1D=，
在等腰直角三角形B1DA中，E是斜边中点，故DE⊥AB1，计算得AB1=，故DE=
作DM⊥A1B1于M，连接ME，因为正三棱柱ABC-A1B1C1中，
所以DM⊥面AA1B1B，即DM⊥AB1，所以面DME⊥AB1，
所以∠MED即二面角的平面角，由D是中点，所以DM=
在直角三角形DME中，sin∠MED===
所以∠MED=