Question

已知椭圆的两焦点F₁、F₂和短轴的两端点B₁、B₂正好是一正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点的最近距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上任一点，MN是圆C：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求的最大值．

Answer

（1）由题意知可求得a，c和b的值，进而椭圆的方程可得．
（2）根据═从而只需求出的最大值，设P（x，y）代入椭圆方程可得x和y，的关系式，再根据C点坐标求得关于y的关系式，进而根据的范围求得的范围，进而求得的最大值．
【解析】
（1）由题意知，
故椭圆的标准方程为．
（2）=
从而只需求出的最大值
设P（x，y），
则有，
即有x2=2-2y2，又C（0，2），
所以，
而y∈[-1，1]，
所以y=-1时，最大值为9，
故的最大值为8．