Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．

Answer

（Ⅰ）要证AM∥平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，在平面BDE内求出向量，证明二者共线，说明AM∥平面BDE，
（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，说明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大小；也可以建立空间直角坐标系，求出，说明是平面DFB的法向量，求出平面DAF的法向量，然后利用数量积求解即可．
【解析】
方法一
（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE
∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角
在Rt△ASB中，
∴，
∴二面角A-DF-B的大小为60°
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设AC∩BD=N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），
∴=（，
又点A、M的坐标分别是
（）、（
∴=（
∴=且NE与AM不共线，
∴NE∥AM
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDF
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF
∴为平面DAF的法向量
∵=（•=0，
∴=（•=0得，∴NE为平面BDF的法向量
∴cos＜＞=
∴的夹角是60°
即所求二面角A-DF-B的大小是60°