Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅰ）求证：D点为棱BB₁的中点；
（Ⅱ）判断四棱锥A₁-B₁C₁CD和C-A₁ABD的体积是否相等，并证明．

Answer

（Ⅰ）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF，推出，即可证明D点为棱BB1的中点；
（Ⅱ）求出四棱锥A1-B1C1CD的底面面积和高，再计算C-A1ABD的体积，即可判断体积相等．
【解析】
（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，
∴DE⊥面AA1C1C．（3分）
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，
所以，所以D点为棱BB1的中点．（6分）

（2）相等．ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴BB1⊥A1B1，BB1⊥BC，
又A1B1⊥B1C1，BC⊥AB，
∴A1B1⊥平面B1C1CD，BC⊥平面A1ABD（9分）
∴
∵D为BB1中点，
∴=（12分）