Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（Ⅰ）试判断直线PB与平面EAC的关系；
（Ⅱ）求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值．

Answer

（I）由图形，连接BD交AC于一点O，连接EO，可以看到线面是平行的，下用线面平行的判定定理证明；
（II）证AE与面内两条相交线垂直即可，由图形与题设条件知，此两线易找出；
（III）由图形，结合（II）的结论，由E作EM垂直PC于M，在直角三角形中角EMA的正切值即为所求．
【解析】
（Ⅰ）PB∥平面EAC．证明如下：
连接BD交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点，
又∵E为PD的中点，
∴EO∥PB，
∴PB∥平面EAC（4分）

（Ⅱ）∵CD⊥AD，且侧面PAD⊥底面ABCD，
而侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥侧面PAD，
∴CD⊥AE
∵侧面PAD是正三角形，E为侧棱PD的中点，
∴AE⊥PD，
∴AE⊥平面PCD；（8分）

（Ⅲ）过E作EM⊥PC于M，连接AM，由（2）及三垂线定理知AM⊥PC．
∴∠AME为二面角A-PC-D的平面角，
由正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，
∴PD=AD=AB=DC，
∴在等腰直角三角形DPC中，设AB=a，则AE=a，PC=a，EM=×a．
在Rt△AEM中，tan∠AME===．
即二面角A-PC-D的正切值为．（12分）