Question

数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，，
（I）求a₃，a₄，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，，求使W_k＞1的所有k的值，并说明理由．

Answer

（I）由题意知，a4=（1+cos2π）a2+4sin2π=2a2=4，一般地，当n=2k-1（k∈N*）时，a2k+1-a2k-1=4．因此a2k-1=4（k-1）．当n=2k（k∈N*）时，a2k=2k．由此可知数列{an}的通项公式为．
（II）由题设知，Sk=a1+a3++a2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），Tk=a2+a4++a2k=2+22+2k=2k+1-2，
由此可知当k≥6时，Wk+1＜Wk．满足Wk＞1的所有k的值为3，4，5．
【解析】
（I）因为a1=0，a2=2，所以，a4=（1+cos2π）a2+4sin2π=2a2=4，一般地，当n=2k-1（k∈N*）时，，
即a2k+1-a2k-1=4．所以数列{a2k-1}是首项为0、公差为4的等差数列，
因此a2k-1=4（k-1）．
当n=2k（k∈N*）时，，
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
故数列{an}的通项公式为

（II）由（I）知，Sk=a1+a3++a2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），Tk=a2+a4++a2k=2+22+2k=2k+1-2，
于是W1=0，W2=1，，，，．
下面证明：当k≥6时，Wk＜1．事实上，当k≥6时，，
即Wk+1＜Wk．
又W6＜1，所以当k≥6时，Wk＜1．
故满足Wk＞1的所有k的值为3，4，5．