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已知f(x)=2ax-+lnx在x=-1,x=处取得极值. (1)求a、b的值;...

已知f(x)=2ax-manfen5.com 满分网+lnx在x=-1,x=manfen5.com 满分网处取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对x∈[manfen5.com 满分网,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围.
(1)先对函数f(x)进行求导,根据f'(-1)=0,f'()=0求出a,b的值. (2)先将问题转化为求函数f(x)在[,4]最小值的问题,只要c小于f(x)在[,4]最小值即可满足条件. 将a,b的值代入f'(x),然后判断函数的单调性,进而可求最小值. 【解析】 (1)∵f(x)=2ax-+lnx, ∴f′(x)=2a++. ∵f(x)在x=-1与x=处取得极值, ∴f′(-1)=0,f′()=0, 即解得 ∴所求a、b的值分别为1、-1. (2)由(1)得f′(x)=2-+=(2x2+x-1)=(2x-1)(x+1). ∴当x∈[,]时,f′(x)<0; 当x∈[,4]时,f′(x)>0. ∴f()是f(x)在[,4]上的极小值.又∵只有一个极小值, ∴f(x)min=f()=3-ln2. ∵f(x)>c恒成立,∴c<f(x)min=3-ln2. ∴c的取值范围为c<3-ln2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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