Question

已知f（x）=2ax-+lnx在x=-1，x=处取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若对x∈[，4]时，f（x）＞c恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（-1）=0，f'（）=0求出a，b的值．
（2）先将问题转化为求函数f（x）在[，4]最小值的问题，只要c小于f（x）在[，4]最小值即可满足条件．
将a，b的值代入f'（x），然后判断函数的单调性，进而可求最小值．
【解析】
（1）∵f（x）=2ax-+lnx，
∴f′（x）=2a++．
∵f（x）在x=-1与x=处取得极值，
∴f′（-1）=0，f′（）=0，
即解得
∴所求a、b的值分别为1、-1．
（2）由（1）得f′（x）=2-+=（2x2+x-1）=（2x-1）（x+1）．
∴当x∈[，]时，f′（x）＜0；
当x∈[，4]时，f′（x）＞0．
∴f（）是f（x）在[，4]上的极小值．又∵只有一个极小值，
∴f（x）min=f（）=3-ln2．
∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3-ln2．
∴c的取值范围为c＜3-ln2．