Question

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C_α+β推导两角和的正弦公式S_α+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC．

Answer

（I）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[-（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．
（II），求出角A的正弦，再由，用cosC=-cos（A+B）求解即可．
【解析】

（1）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，
终边交⊙O于P2；
角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．
则P1（1，0），P2（cosα，sinα）
P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．（4分）
②由①易得cos（-α）=sinα，sin（-α）=cosα
sin（α+β）=cos[-（α+β）]=cos[（-α）+（-β）]
=cos（-α）cos（-β）-sin（-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）
（2）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=bcsinA==bccosA=3＞0
∴A∈（0，），cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1，∴sinA=，cosA=
由题意，cosB=，得sinB=
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=
故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-（12分）