Question

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由C_α+β推导两角和的正弦公式S_α+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（Ⅱ）已知，求cos（α+β）．

Answer

（I）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[-（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．
（II），求出角A的正弦，再由，用cosC=-cos（A+B）求解即可．
【解析】
（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，
并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，
交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，
终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．
则P1（1，0），P2（cosα，sinα）
P3（cos（α+β），sin（α+β）），
P4（cos（-β），sin（-β））
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（4分）
②由①易得cos（-α）=sinα，sin（-α）=cosα
sin（α+β）=cos[-（α+β）]=cos[（-α）+（-β）]
=cos（-α）cos（-β）-sin（-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ；（6分）
（Ⅱ）∵α∈（π，），cosα=-
∴sinα=-
∵β∈（，π），tanβ=-
∴cosβ=-，sinβ=
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=（-）×（-）-（-）×
=．