Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式tS_n-（t+1）S_n-1=t（t＞0，n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{b_n}满足条件（Ⅱ），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer

（Ⅰ）利用an=Sn-tSn-1，求得数列{an}的递推式，整理得，进而可推断出n≥3时，数列成等比数列，然后分别求得a1和a2，验证亦符合，进而可推断出{an}是一个首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）把f（t）的解析式代入bn，进而可知bn=1+bn-1，判断出{bn}是一个首项为1，公差为1的等差数列．进而根据等差数列的通项公式求得答案．
（Ⅲ）{bn}是等差数列．进而可推断出{b2n-1}和{b2n}也是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，进而用分组法求得数列的b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1和．
【解析】
（Ⅰ）∵tSn-（t+1）Sn-1=t，（n≥2）①tSn-1-（t+1）Sn-2=t，（n≥3）②
①-②，得tan-（t+1）an-1=0．
∴（n∈N*，n≥3）．
又由t（1+a2）-（t+1）=t．得．
又∵a1=1，∴．
所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）由f（t）=，得=1+bn-1（n≥2，n∈N*）．
∴{bn}是一个首项为1，公差为1的等差数列．
于是bn=n．
（Ⅲ）由bn=n，可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，
于是b2n=2n．
∴b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）=-2（b2+b4+…+b2n）
=．