Question

已知f（x）=（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之
（Ⅱ）根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零
【解析】
（Ⅰ）f'（x）==，
∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①
设φ（x）=x2-ax-2，
方法一：φ
①⇔⇔-1≤a≤1，
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．方法二：
①⇔或
⇔0≤a≤1或-1≤a≤0
⇔-1≤a≤1．
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由，得x2-ax-2=0，∵△=a2+8＞0
∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=-2，
从而|x1-x2|==．
∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3．
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②
设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），
方法一：
②⇔g（-1）=m2-m-2≥0，g（1）=m2+m-2≥0，
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
②⇔m＞0，g（-1）=m2-m-2≥0或m＜0，g（1）=m2+m-2≥0
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．