Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且•
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M．
（1）已知，求λ₁+λ₂的值
（2）求||•||的最小值．

Answer

（I）先设点P（x，y），由题中条件：“”得：x，y之间的关系，化简得C：y2=4x．
（II）（1）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），又M（-1，-）
联立方程组，将直线的方程代入双曲线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与双曲线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系及向量的条件，从而解决问题．
（II）（2）先将•=（）2|y1-yM||y2-yM|表示成关于m的函数形式，再利用基本不等式求此函数式的最小值即可．
【解析】
（I）设点P（x，y），则Q（-1，y），由得：
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化简得C：y2=4x．
（II）（1）设直线AB的方程为：
x=my+1（m≠0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），又M（-1，-）
联立方程组，
消去x得：y2-4my-4=0，
△=（-4m）2+12＞0，
由，
得：，
整理得：，
∴
=
=-2-
=0．
（II）（2）【解析】
•=（）2|y1-yM||y2-yM|
=（1+m2）|y1y2-yM（y1+y2）+yM2|
=（1+m2）|-4+×4m+|
=
=4（2+m2+）≥4（2+2）=16、
当且仅当，即m=±1时等号成立，所以•最小值为16．