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如图,已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中...

manfen5.com 满分网如图,已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.
(1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;
(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.
(1)(解法一)由面面垂直的性质定理,取CD的中点G,连接MG,NG,再证出∠MNG是所求的角,在△MNG中求解; (解法二)由垂直关系建立空间直角坐标系,求出平面DCEF的法向量,再用向量的数量积求解; (2)由题意假设共面,由AB∥CD推出AB∥平面DCEF,再推出AB∥EN,由得到EN∥EF,即推出矛盾,故假设不成立; 【解析】 (1)解法一: 取CD的中点G,连接MG,NG.设正方形ABCD,DCEF的边长为2, 则MG⊥CD,MG=2,NG=. ∵平面ABCD⊥平面DCED, ∴MG⊥平面DCEF, ∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角. ∵MN==,∴sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 解法二: 设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点, 分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,-2). 又∵=(0,0,2)为平面DCEF的法向量, ∴cos(,)=• ∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos• (2)假设直线ME与BN共面, 则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知,两正方形不共面,∴AB⊄平面DCEF. 又∵AB∥CD,∴AB∥平面DCEF. ∵面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,∴AB∥EN. 又∵AB∥CD∥EF, ∴EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立. ∴ME与BN不共面,它们是异面直线.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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