Question

设函数f（x）=x（x-a）²，
（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件；
（II）若x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a²恒成立，且f（0）=0，求实数a的取值范围．

Answer

（I）先求函数f（x）在区间（1，2）上递减的充要条件，
f（x）在区间（1，2）上递减⇔f'（x）=3x2-4ax+a2≤0在区间（1，2）上恒成立，处理二次不等式恒成立问题可用实根分布求解．
（II）x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立⇔f（x）max＜2a2，x∈[0，|a|+1]，问题转化为求函数的最值问题．
【解析】
（I）∵f（x）在区间（1，2）上递减，
∴其导函数f'（x）=3x2-4ax+a2≤0在区间（1，2）上恒成立．
∴
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
解法二：f'（x）=3x2-4ax+a2=（3x-a）（x-a）≤0在区间（1，2）上恒成立，
∴a只能大于0，∴，∴∴2≤a≤3⇒a≤3
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
（II）∵f（x）=x（x-a）2
当a＞0时，函数y=f（x）在（）上递增，
在上递减，在上递增，
故有
当a＜0时，函数y=f（x）在上递增，
∴只要f（1-a）＜2a2⇒4a3-6a2+5a-1＞0
令g（a）=4a3-6a2+5a-1，
则
所以g（a）在（-∞，0）上递增，
又g（0）=-1＜0∴f（1-a）＜2a2不能恒成立
故所求的a的取值范围为