Question

已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是两腰AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值．
（2）当f（x）取得最大值时，求BD与平面BCFE所成角的正弦值．

Answer

（1）先表示出三棱锥的体积记为f（x），利用基本不等式求出f（x）的最大值．
（2）先表示出BD与平面BCFE所成角，然后解直角三角形的边长，求出BD与平面BCFE所成角的正弦值．
【解析】
（1）因为ABCD为直角梯形，沿EF将梯形ABCD翻折后，平面AEFD⊥平面EBCF；所以三棱锥D-BCF的高为AE所以三棱锥D-BCF的体积为：（4分）
所以
所以当x=2时，f（x）取最大值为（7分）
（2）作DH⊥EF于H，连接HB，
因为平面AEFD⊥平面EBCF；
所以DH⊥面BCFE，所以∠DBH就是所求的BD与平面BCFE所成角（10分）
容易计算得，DH=2，，R所以
所以（13分）
所以，BD与平面BCFE所成角的正弦值为（14分）