Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）证明：P为A₁B中点．
（2）若A₁B⊥AC₁，求二面角B₁-PC-B的余弦值．

Answer

（1）取AB中点Q，连接PQ，由于CQ⊥AB，AB⊥CP，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面CPO，从而得到AB⊥PQ又A1A⊥AB得A1A∥PQ，而点Q是AB的中点，得到P为A1B的中点；
（2）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，连B1A，B1R，BR，过B作BH⊥B1R，垂足为H，过B作BG⊥PC，连接GH，根据二面角的平面角的定义可知∠BGH为二面角B1-PC-B的平面角，在三角形BGH中求出此角即可．
【解析】
（1）证明：取AB中点Q，∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ，A1A⊥AB
得A1A∥PQ，点Q是AB的中点
∴P为A1B的中点（4分）
（2）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，
则BR⊥平面A1C1CA，∴BR⊥AC1，由已知A1B⊥AC1，∴A1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA∴，∴（6分）
则，则AC=2
连B1A，B1R，BR，∵AC⊥平面B1BR，∴平面B1AC⊥平面B1BR，
平面B1AC∩平面B1BR=B1R，过B作BH⊥B1R，垂足为H，
则BH⊥平面B1PC，过B作BG⊥PC，
连接GH，那么∠BGH为二面角B1-PC-B的平面角（8分）
在△B1BR中，在△PBC中，（10分）∴∴（12分）