Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．

Answer

法一（Ⅰ）连接BD，证明平面PBE内的直线BE，垂直平面PAB内的两条相交直线PA，AB即可证明平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连接PF．过点A作AH⊥PB于H，∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）．
解Rt△AHG求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．

法二：以A为原点，建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由，与平面PAB的一个法向量是=（0，1，0），
共线，说明BE⊥平面PAB，推出平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求出平面PBE的一个法向量，平面PAD的一个法向量，求两个向量的数量积，即可求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．
【解析】
解法一（Ⅰ）如图所示，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，
所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．
又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连接PF．过点A作AH⊥PB于H，
由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．
在Rt△ABF中，因为∠BAF=60°，
所以，AF=2AB=2=AP．
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG．
则AG⊥PF．连接HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG．
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）．
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
，，P（0，0，2），
（Ⅰ）因为，
平面PAB的一个法向量是，
所以共线．从而BE⊥平面PAB．
又因为BE⊂平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知，
设是平面PBE的一个法向量，
则由
得
所以y1=0，x1=2z1．故可取=（2，0，1）．
设是平面PAD的一个法向量，
则由
得
所以故可取．
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是．