Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n．证明：当n≥6时，|S_n-2|＜．

Answer

（1）根据an+2=（1+cos2）an+sin2，把a1和a2代入即可求得a3，a4，先看当n=2k-1（k∈N*）时，整理得a2k+1-a2k-1=1进而可判断数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列；n=2k（k∈N*）时，整理得a2k+2=2a2k进而可判断数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，最后综合可得答案．
（2）把（1）中求得an代入bn中可知数列{bn}是由等比和等差数列构成，因而可用错位相减法求和，得到数列的求和公式Sn=2-．．要证明当n≥6时，|Sn-2|＜成立，只需证明当n≥6时，＜1成立．用数学归纳法，先看当n=6时求得＜1，再假设当n=k（k≥6）时不等式成立，通过n=k+1时，等式亦成立，进而证明结论．
【解析】
（1）因为a1=1，a2=2，
所以a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，
a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k-1+sin2=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1．
所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，
因此a2k-1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，
因此a2k=2k．
故数列{an}的通项公式为
an=
（2）由（1）知，bn==，
所以Sn=+++…+，①
Sn=+++…+，②
①-②得，Sn=+++…+-=-=1--，
所以Sn=2--=2-．
要证明当n≥6时，|Sn-2|＜成立，只需证明当n≥6时，＜1成立．
（1）当n=6时，==＜1成立．
（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即＜1．
则当n=k+1时，
=×＜＜1．
由（1）、（2）所述，当n≥6时，＜1．
即当n≥6时，|Sn-2|＜．