Question

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x＞2．
（I）证明：点P（x，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x表示）：若不存在，请说明理由．

Answer

（I）设AB为点P（x，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2）（x1≠x2），代入抛物线方程相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）．设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm，ym），则可表示出AB的斜率，进而可表示出AB的垂直平分线l的方程，把点P（x，0）代入求得xm=x-2．答案可得．
（2）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程与抛物线方程联立求得x1•x2的值，设点P的“相关弦”AB的弦长为l则根据l2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=整理得l关于x的函数，进而根据x的范围求得答案．
【解析】
（I）设AB为点P（x，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1，y1）、（x2，y2）（x1≠x2），则y21=4x1，y22=4x2，
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）．因为x1≠x2，所以y1+y2≠0、
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm，ym），则
k=．从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x，0）在直线l上，所以
而ym≠0，于是xm=x-2．故点P（x，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是y-ym=k（x-xm），代入y2=4x中，
整理得k2x2+2[k（ym-kxm）-2]x+（ym-kxm）2=0．（•）
则x1、x2是方程的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则l2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1-x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=4（1+k2）（xm2-x1x2）
=
=（4+ym2）（4xm-ym2）=-ym4+4ym2（xm-1）+16xm
=4（xm+1）2-[ym2-2（xm-1）]2=4（x-1）2-[ym2-2（x-3）]2．
因为0＜ym2＜4xm=4（xm-2）=4x-8，于是设t=ym2，则t∈（0，4x-8）．
记l2=g（t）=-[t-2（x-3）]2+4（x-1）2．
若x＞3，则2（x-3）∈（0，4x-8），所以当t=2（x-3），即ym2=2（x-3）时，
l有最大值2（x-1）．
若2＜x＜3，则2（x-3）≤0，g（t）在区间（0，4x-8）上是减函数，
所以0＜l2＜16（x-2），l不存在最大值．
综上所述，当x＞3时，点P（x，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x-1）；当2＜x≤3时，点P（x，0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值．