Question

在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小？最小值是多少？

Answer

先作两条平行直线的公垂线PQ，设出PQ、MN，然后令PK=x，则可表示出KQ，再根据△EMK∽△FNK，△MKP∽△NKQ，判断出，进而可求得NF，再表示出△EMK与△FNK的面积之和，根据均值不等式，求得面积之和最小时x的值，并求得面积的最小值．
【解析】
过点K作两条平行直线的公垂线PQ，
设PQ=l，MN=m，
令PK=x，则KQ=l-x
∴△EMK∽△FNK，
∴
又∵△MKP∽△NKQ，
∴
于是得到，
从而△EMK与△FNK的面积之和为

=
=
=
=
∴，
A有最小值