Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
（Ⅱ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer

方法一：（Ⅰ）先作出线面角，由题意知，OD∥PA，故可转化为求OD与面PBC的夹角问题，由题设条件知取BC的中点E，连PE，则O在线PE上的垂足必在PE上，设其为F，则可证得∠ODF所求的线面角，下据条件求之．
（Ⅱ）若F是重心，则必有BFD三点共线，又D是中点，故定有BC=PB，可求得k=1′．
方法二；建立空间坐标系，对（Ⅰ）求出线的方向向量与面的法向量，由公式求得线面角的正弦．
对于（Ⅱ）设出相应点的坐标，由重心坐标公式把重心坐标用三顶点的坐标表示出来，再由线面垂直建立方程求．
【解析】
方法一：
（Ⅰ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，又∵OP⊥平面ABC，∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
又OD∥PA，∴PA与平面PBC所成的角的大小等于∠ODF，在Rt△ODG中，sin∠ODF==，
∴PA与平面PBC所成角为arcsin．

（Ⅱ）由（I）知，OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影．
∵D是PC的中点，
若点F是△PBC的重心，则B，F，D三点共线，
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB=BC，即k=1．
反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．
方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图）．
设AB=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），
设OP=h，则P（0，0，h）
（Ⅰ）∵k=，即PA=2a，∴h=a，∴=（a，0，-a），
可求得平面PBC的法向量=（1．-1，-），∴cos＜，＞==，
设PA与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=cos＜，＞=，
（Ⅱ）△PBC的重心G（-a，a，h），∴=（-a，a，h），
∵OG⊥平面PBC，∴⊥，
又=（0，a，-h），∴•=-=0，∴PA==a，即k=1，
反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥．
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．