Question

设点A_n（x_n，0），P_n（x_n，2^n-1）和抛物线C_n：y=x²+a_nx+b_n（n∈N*），其中a_n=-2-4n-，x_n由以下方法得到：x₁=1，点P₂（x₂，2）在抛物线C₁：y=x²+a₁x+b₁上，点A₁（x₁，0）到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在抛物线C_n：y=x²+a_nx+b_n上，点A_n（x_n，0）到P_n+1的距离是A_n到C_n上点的最短距离．
（Ⅰ）求x₂及C₁的方程．
（Ⅱ）证明{x_n}是等差数列．

Answer

本题考查数列与解析几何的综合问题，涉及了抛物线方程、直线与抛物线的关系、导数及其几何意义、求曲线方程、证明等差数列、数学归纳法等多方面的知识和方法．
对于（Ⅰ）的求解，要充分利用点在抛物线上则满足抛物线方程，结合两点间的距离公式用点p（x，y）表示|A1P|，然后借助于导数，利用f'（x2）=0建立方程，最终使问题得到解决．
对于（Ⅱ）类比（Ⅰ），首先利用点P（x，y）是Cn上任意一点，得到|AnP|==，然后利用导数思想获得xn+1-xn）+2（xn+12+anx+bn）（2xn+1+an）=0并由此通过数学归纳法证明出xn=2n-1，也即证明了{xn}是等差数列．
【解析】
（Ⅰ）由题意得A1（1，0），C1：y=x2-7x+b1，
设点P（x，y）是C1上任意一点，
则|A1P|==
令f（x）=（x-1）2+（x2-7x+b1）2
则f'（x）=2（x-1）+2（x2-7x+b1）（2x-7）
由题意得f'（x2）=0，
即2（x2-1）+2（x22-7x+b1）（2x2-7）=0
又P2（x2，2）在C1上，∴2=x22-7x2+b1
解得x2=3，b1=14
故C1的方程为y=x2-7x+14
（Ⅱ）设点P（x，y）是Cn上任意一点，
则|AnP|==
令g（x）=（x-xn）2+（x2+anx+bn）2
则g'（x）=2（x-xn）+2（x2+anx+bn）（2x+an）
由题意得g'（xn+1）=0
即2（xn+1-xn）+2（xn+12+anx+bn）（2xn+1+an）=0
又∵2n=xn+1，∴（xn+1-xn）+2n（2xn+1+an）=0（n≥1），
即（1+2n+1）xn+1-xn+2nan=0（*）
下面用数学归纳法证明xn=2n-1，
①当n=1时，x1=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即xk=2k-1，
则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）xk+1-xk+2kak=0，
又ak=2-4k-，∴xk+1==2k+1，
即n=k+1时，等式成立．
由①②知，等式对n∈N*成立，
故{xn}是等差数列．