Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．
（I）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；
（II）设，求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer

（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；
（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．
【解析】
（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，
故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）
（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1，
∴A1E⊥平面ADC1．
作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角．
不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，
tan∠A1FE=，
∴∠A1FE=60°．
所以二面角A1-AD-C1为60°．（12分）