Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明．

Answer

（1）验证当n=1时，x2-a1x-a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．
【解析】
（1）当n=1时，x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1，
于是（a1-1）2-a1（a1-1）-a1=0，解得a1=．
当n=2时，x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-，
于是（a2-）2-a2（a2-）-a2=0，
解得a2=．
（2）由题设（Sn-1）2-an（Sn-1）-an=0，
Sn2-2Sn+1-anSn=0．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0．①
由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．
由①可得S3=．由此猜想Sn=，n=1，2，3，．
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，即Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．