Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长AA₁=2，AB=1，E是AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求点A到平面BDE的距离．

Answer

（1）连接AC，交BD于O，连接OE，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，证明OE是△AA1C的中位线，然后根据直线与平面平行的判断定理进行证明；
（2）过点A作AH⊥OE，垂足为H，可得A1A⊥BD，然后再证BD⊥平面A1AC，推出AH⊥平面BDE，在Rt△OAE中，进行求解．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O，连接OE（1分）
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形
∴点O是AC的中点（2分）
又E是AA1的中点
∴OE是△AA1C的中位线
∴OE∥A1C（4分）
∵OE⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE，
∴A1C∥平面BDE（6分）

（Ⅱ）【解析】
过点A作AH⊥OE，垂足为H（7分）
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，A1A⊥平面ABCD（8分）
∴A1A⊥BD（9分）
又∵A1A∩AC=A
∴BD⊥平面A1AC
∴BD⊥AH（10分）
又AH⊥OE，BD∩OE=E
∴AH⊥平面BDE（11分）
在Rt△OAE中，，，
．
即点A到平面BDE的距离是（13分）