Question

数列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n项和，且S_n+1=S_n+n，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的通项公式；
（III）若，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由Sn+1=Sn+n，n∈N*得an+1=Sn+1-Sn=n，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（Ⅱ）由S1=a1=1，Sn+1=Sn+n，利用叠加法得，由此得到数列{bn}的通项公式．
（III），Tn=1×2+2×22+3×23++（n-1）•2n-1+n•2n，再由错位相减求和法能得到数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）由Sn+1=Sn+n，n∈N*得an+1=Sn+1-Sn=n
所以，（3分）
（Ⅱ）由S1=a1=1，Sn+1=Sn+n，利用叠加法得（6分）
（8分）
（III）（9分）
Tn=1×2+2×22+3×23++（n-1）•2n-1+n•2n①
2Tn=，1×22+2×23++（n-2）•2n-2+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②得Tn
=（n-1）•2n+1+2．（14分）