Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，-1）共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ²+μ²为定值．

Answer

（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率
（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．
【解析】
（1）设椭圆方程为
则直线AB的方程为y=x-c，代入，
化简得（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0．
令A（x1，y1），B（x2，y2），
则．
∵与共线，
∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1-c，y2=x2-c，
∴3（x1+x2-2c）+（x1+x2）=0，
∴．
即，
所以a2=3b2．
∴，
故离心率．
（II）证明：由（1）知a2=3b2，
所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．
设M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
∴
∵M（x，y）在椭圆上，
∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．
即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①
由（1）知．
∴，
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1-c）（x2-c）=4x1x2-3（x1+x2）c+3c2==0．
又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，
代入①得λ2+μ2=1．
故λ2+μ2为定值，定值为1．