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满分5
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高中数学试题
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已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）...
已知矩阵M=
，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．
首先根据矩阵的变换列出方程式 求出实数a的值．求出m的矩阵后写出其特征多项式，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值，再根据特征值解出特征向量． 【解析】 （1）由=，∴1+7a=15⇒a=2．（4分） （2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为=（λ-1）（λ-1）-4=λ2-2λ-3， 令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与3．（6分） 当λ=-1时，⇒x+y=0， ∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为；（8分） 当λ=3时，⇒x=y， ∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为．（10分）
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考点分析：
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设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵．
（1）求逆矩阵M
-1
；
（2）求椭圆
在矩阵M
-1
作用下变换得到的新曲线的方程．
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已知二项式
的展开式中各项系数的和为256．
（1）求n．
（2）求展开式中的常数项．
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已知函数
，数列{a
n
}满足：a
1
=a，a
n+1
=f（a
n
），n∈N
*
．
（1）若对于n∈N
*
，均有a
n+1
=a
n
成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N
*
，均有a
n+1
＞a
n
成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{b
n
}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①b
n
＜b
n+1
，n∈N
*
；②当a为{b
n
}中的任意一项时，{a
n
}中必有某一项的值为1．
查看答案
已知函数
．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求实数m的取值范围；
（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a
b
=b
a
．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请写出a的取值范围（不需要解答过程）．
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设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
2
=5，S
5
=35，设数列{b
n
}满足a
n
=log
2
b
n
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）求数列{b
n
}的前n项和T
n
；
（3）设G
n
=a
1
•b
1
+a
2
•b
2
+…+a
n
•b
n
，求G
n
．
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试题属性
题型：解答题
难度：中等
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，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．
，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．
．
在矩阵M-1作用下变换得到的新曲线的方程．
的展开式中各项系数的和为256．