Question

设平面上n个圆周最多把平面分成f（n）片（平面区域），则f（2）=    ，f（n）=    ．（n≥1，n是自然数）

Answer

由题意知个n圆周最多把平面分成的片数构成一个数列，利用图形特点找出此数列的递推公式，然后再求通项公式f（n）．
【解析】
易知：1个圆周最多把平面分成2片，2个圆周最多把平面分成4片；
设n个圆周已把平面分成f（n）片，
再放入第n+1个圆周，为使得到尽可能多的片，第n+1个应与前面n个都相交且交点均不同，
∵有条n公共弦，其端点把第n+1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，
即f（n+1）=f（n）+2n（n≥1），∴f（n）-f（1）=n（n-1），
∵f（1）=2，∴f（n）=n2-n+2．
故答案为：4，n2-n+2．