Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2、∠ADC=120°的菱形，Q是侧棱DD₁（DD₁＞）延长线上的一点，过点Q、A₁、C₁作菱形截面QA₁PC₁交侧棱BB₁于点P．设截面QA₁PC₁的面积为S₁，四面体B₁-A₁C₁P的三侧面△B₁A₁C₁、△B₁PC₁、△B₁A₁P面积的和为S₂，S=S₁-S₂．
（Ⅰ）证明：AC⊥QP；
（Ⅱ）当S取得最小值时，求cos∠A₁QC₁的值．

Answer

（Ⅰ）要证明：AC⊥QP；只要证明AC垂直平面PCDQ即可．也就是证明AC垂直平面内的相交直线即可．
（Ⅱ）设O是A1C1与QP的交点，QD1=x、QO=y，则x2+1=y2，利用S=S1-S2．表示出面积S，当S取得最小值时，求出x的值，然后求cos∠A1QC1的值．
【解析】
（Ⅰ）连AC、BD，则AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，则AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP⊂平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）

（Ⅱ）设O是A1C1与QP的交点，QD1=x、QO=y，则x2+1=y2，S=S1-S2
==．（8分）
∵令，则，
∴当即时，S取得最小值．（11分）
此时，，由余弦定理有cos∠A1QC1=．（13分）