Question

已知x=2是函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一个极值点（e=2.718…）．
（I）求实数a的值；
（II）求函数f（x）在的最大值和最小值．

Answer

（1）由x=2是函数f（x）=（x2+ax-2a-3）ex的一个极值点可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出a
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．
【解析】
（I）由f（x）=（x2+ax-2a-3）ex可得
f′（x）=（2x+a）ex+（x2+ax-2a-3）ex=[x2+（2+a）x-a-3]ex（4分）
∵x=2是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=0
∴（a+5）e2=0，解得a=-5（6分）
（II）由f′（x）=（x-2）（x-1）ex＞0，得f（x）在（-∞，1）递增，在（2，+∞）递增，
由f′（x）＜0，得f（x）在在（1，2）递减
∴f（2）=e2是f（x）在的最小值；（8分）
，f（3）=e3
∵∴最大值为e3，最小值为e2